Математика курс лекций, Функции комплексной переменной

Полное приращение и полный дифференциал ФНП Полным приращением функции двух переменных z= f (xy) в точке (xy), вызванным приращениями аргументов  и , называется выражение .

Производные ФНП высших порядков

Частные производные ФНП, заданной неявно Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области DxOyсоответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию . Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению Говорят, что в двумерной области D xOyзадано скалярное поле, если в каждой точке M(x, y) Î Dзадана скалярная функция координат точки: U(M) = U(x, y).

Функции комплексной переменной

Некоторые приложения тройных интегралов

Пример. Найти длину дуги кривой , заключенной между лучами Решение задач на вычисление интеграла Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания

Векторная функция скалярного аргумента Если каждому значению параметра tиз некоторого промежутка  ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: .

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Пример Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.

Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ  в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью

Задача Дана функция z< = cos<2 (2x< – y<).

Задача. Найти частные производные  и , если переменные x<, y, и z< связаны равенством 4 x2y<  ez< – cos(x3< – z<) + 2 y<2 + 3x< = 0.

Дана функция двух переменных: z = x2xy + y2 – 4x+ 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy:x = 0, y = –1, x + y = 3. 

Задача Поверхность задана уравнением z <=  + xy< – 5 x<3 . Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x<0 , y<0 , z<0 ), принадлежащей ей, если x<0 = –1, y0 < = 2.

Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i.

Задача. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Задача Вычислить работу силы  при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

Дано векторное поле  и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0.

Задача Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точкуN(–1,2,3).

 

 

 

Пример Найти произведение матриц А=  и В = .

Решение. Имеем: матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны
с11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных
преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.

Метод Гаусса Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45o. Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, Þ b=1-3k. Величина угла между прямыми y= k1 x+b1 и y= kx+b определяется формулой tgj = . Так как угловой коэффициент k1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол j = 45o, то имеем уравнение для определения k: (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости. Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример. Исследовать на четность и нечетность функцию . Данная функция определена, если . Применяя к решению этого неравенства метод интервалов (СР 5), получим  (симметричный интервал относительно нулевой точки).

Раскрытие некоторых типов неопределенностей. Пример. Вычислить . ьИмеем неопределенность вида .

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил  денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р % годовых. Необходимо найти размер вклада  через  лет.

Пример Найти . Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:, x-9®0, т.е. имеем неопределенность вида .

Пример. Функция  есть первообразная для функции  на , поскольку  .

Начертательная геометрия