Матрицы и определители Интегрирование тригонометрических выражений Матричные уравнения Вычислить несобственный интеграл Приложения тройного интеграла Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Математика курс лекций, примеры решения задач

ЗАДАНИЕ 10. Найти массу тела , ограниченного поверхностями: ; ; ; ; плотность массы тела .

РЕШЕНИЕ.

 Область  ограничена с боков координатными плоскостями   и цилиндрической поверхностью . Снизу она “накрыта” плоскостью , сверху  поверхностью параболоида   (рис.79).

 

Рис.79

 Область  является -цилиндрическим брусом. Масса тела может быть вычислена по формуле:

.

Цилиндрический брус проектируется на плоскость  в криволинейную трапецию (D): 0 x 1, 0 y . Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его:

=

=[ замена переменных  ]=

Замечание. В цилиндрической системе координат вычисления упрощаются:

.

Ответ. Масса заданного тела равна 1.

Примеры представляют собой силовое поле,поле скоростей и т.п.

Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля. Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е. ) по направлению , . Понятие величины отрезкаопределяется аналогично и для . Напоминаем: величинаотрезка представляет собой его длину со знаком "+", если векторы и одинаково направлены и длину со знаком "-", если их направления противоположны. Тогда, по определению, .

Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор задан направляющими косинусами , то при условии дифференцируемости в т. легко вывести формулу: , где - градиент скалярного поля в точке .

Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: , т.к. - единичный вектор.

Таким образом, , причем равенство наступает при условии . Наибольшее значение по всем выборам , таким образом, есть , а направление градиента – это как раз тот вектор , на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление и модуль вектора определено без использования координат. Это говорит об инвариантности этого понятия и о наличии реальных естественно-научных интерпретаций.

Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.

  1. (

- дифференцируемая функция)

Тройной интеграл

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V xOyz. Тройной интеграл от этой функции по области V  имеет вид: , где .

Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств:  где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5).

 Если область D можно задать системой неравенств

 то

В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V  можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:

.

Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.

Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями