Приложения тройного интеграла Функции комплексной переменной Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями

Математика курс лекций, примеры решения задач

Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл.

Пример 26. Найти .

○ Произведем тождественные преобразования, умножив и разделив подынтегральную функцию на .

.

К последнему интегралу применим формулу (6.18)

Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков

Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь

.

Решая это уравнение относительно , окончательно получим

. ● (6.24)

Аналогично находим

.  (6.25)

Пример 27. Найти .

.

Таким образом, получаем уравнение

,

откуда

.  ● (6.26)

Аналогично находим

. (6.27)

Часто интегрирование по частям приводит к рекуррентной формуле, т.е. формуле, позволяющей последовательно вычислять интегралы, исходя из известного начального интеграла.

Пример 28. Найти .

○ Произведем над подынтегральной функцией следующие тождественные преобразования:

.

К последнему интегралу применим формулу (6.18)

.

Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь

  (6.28)

где .

Таким образом, зная интеграл , по рекуррентной формуле (6.28) можно найти интеграл . Например, при  имеем

. ● (6.29)

Для интегралов вида

  и ,

где , также можно получить рекуррентные формулы, позволяющие понижать степень  и тем самым позволяющие в конечном итоге свести интегрирование к ТИ: 27; 28. Действительно, интегрируя по частям и используя ТИ: 27; 28, получим

,

.

При применении к формулам (6.24) – (6.28) свойства 6.5º, получим ТИ: 25 ÷ 29.

Иногда при нахождении неопределенного интеграла приходится применять различные методы интегрирования.

Пример 29. Найти .

○ Обозначим х2 = t, тогда dt = 2x dx. Следовательно,

. ●

Перейдем теперь к интегрированию некоторых видов элементарных функций. При этом мы систематически будем пользоваться изложенными в этом параграфе общими методами интегрирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. для вузов.-5-е изд., стер. - М.: Физматлит, 2002. - 317 с. 2. Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии: - М.: Физматлит, 2003. - 303 с. 3. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. - 17-е изд., стер. - СПб: Профессия, 2001. - 199 с. 4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов: в 3т.-5-е изд., стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник). т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-2003.-284 с. 5. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я -6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.1. -2002.-304 с.
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)