Математика курс лекций, примеры решения задач


Вычислить несобственный интеграл

Вычисление тройного интеграла в декартовых и других координатах

Тройной интеграл в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх  однократных интегралов. При этом дифференциал объёма равен

произведению дифференциалов независимых переменных dv = dxdydz. Область интегрирования называется правильной, если прямая, проходящая через произвольную внутреннюю точку области интегрирования параллельно каждой оси координат пересекает границу области в двух точках. В правильной области можно выбрать любую последовательность интегрирования по переменным х, у, z. Вычисление начинается с построения рисунка области интегрирования по заданным уравнениям границ области. Выбрав первую переменную интегрирования, нужно построить проекцию области интегрирования на плоскость двух других переменных. Например, если первое интегрирование производится по переменной z, то будет нужна проекция области на плоскость хОу.

Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение

Z = F1(х,y) а поверхность, ограничивающая область V сверху Z = F2(х,y) (рисунок 21). Проекцию области V на плоскость хОу обозначим D. Она имеет уравнения границ y=y1(х) и y=y2(х) Тогда тройной интеграл по области V равен трёхкратному интегралу:

Рис.8

По формуле (17) можно сформулировать правило расстановки пределов в трёхкратном интеграле:

1. В пределах интеграла по первой переменной в общем случае стоят функции двух других переменных;

2. В пределах интеграла по второй переменной в общем случае стоят функции третьей переменной;

3. В пределах интеграла по третьей переменной всегда стоят числа, равные предельным значениям проекции области V на соответствующей оси.

В частном случае, когда границами области V являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, в пределах всех однократных интегралов стоят постоянные.

Пример 2. Решить уравнение ( .

Решение. Разрешим это уравнение относительно производной

.

Разделив числитель и знаменатель дроби на , имеем .

Далее вводим новую функцию . Получим уравнение или .

Преобразуем это уравнение и разделим переменные:

.

Интегрируем: .

Отсюда имеем:

далее .

Исключая вспомогательную функцию , окончательно получим

или .

Соленоидальное векторное поле

Векторное поле  называется соленоидальным, если существует такое векторное поле , для которого поле является полем его роторов: .

Поле  называется векторным потенциалом векторного поля .

Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля равна нулю, то это векторное поле является соленоидальным.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)