Центральное проецирование Параллельное проецирование Комплексный чертеж точки Способ вражения Проекции прямого угла Взаимно перпендикулярные плоскости Метрические задачи Комплексные задачи Способ вспомогательных сфер


Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей. Под винтовым движением понимается совокупность двух движений: поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси. В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. Преобразуют эпюр так, чтобы ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину. Пересекая призму вспомогательной плоскостью ?, перпендикулярной ее боковым ребрам (способ нормального сечения), строят проекции фигуры нормального сечения - треугольника Теоретическая механика Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Конспект лекций по начертательной геометрии

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ

  Способ вращения состоит в том, что данная геометрическая фигура вращается вокруг некоторой неподвижной оси до требуемого положения относительно неподвижных плоскостей проекций. При этом каждая точка фигуры, например точка А (рис. 3.14), описывает окружность, расположенную в плоскости , перпендикулярной оси вращения i. Центр O этой окружности является точкой пересечения оси вращения с плоскостью Радиус окружности равен расстоянию точки А до оси i (| R | = | AO |).
prk3_14.JPGРис. 3.14

Если точка А геометрической фигуры, вращаясь вокруг оси i, повернется на некоторый угол , то и все точки фигуры повернутся на угол . Точки геометрической фигуры, принадлежащие оси вращения i (например, точка В на рис. 3.14), в процессе вращения остаются неподвижными.
Для упрощения построений на комплексном чертеже в качестве оси вращения выбирают проецирующую прямую или линию уровня.

Вращение вокруг проецирующей прямой Эскиз детали. Тpебования к эскизу В условиях пpоизводства и пpи пpоектиpовании иногда возникает необходимость в чеpтежах вpеменного или pазового пользования, получивших название эскизов. Эскиз - чеpтеж вpеменного хаpактеpа, выполненный, как пpавило, от pуки (без пpименения чеpтежных инстpументов), на любой бумаге, без соблюдения масштаба, но с сохpанением пpопоpциональности элементов детали, а также в соответствии со всеми пpавилами и условностями, установленными стандартами.

1. Вращение точки А вокруг горизонтально проецирующей прямой i(i П1).
prk3_12.JPG Рис.3.15 (анимация)

Если точка А вращается вокруг оси i П1, то плоскость , в которой располагается окружность, описываемая точкой, становится горизонтальной плоскостью уровня ( П1). Следовательно, окружность, описываемая точкой А в пространстве (анимационный рис. 3.15), спроецируется на плоскость П1 без искажения, а на плоскость П2 - в отрезок прямой, совпадающей с 2). Таким образом, на комплексном чертеже (рис. 3.16);
1) горизонтальная проекция A1, точки А перемещается по окружности радиуса
| R | = | АО | = | А1О1 | ;
2) фронтальная проекция А2 точки А перемещается по прямой, перпендикулярной линиям связи (вырожденная фронтальная проекция 2 плоскости П1);
prk3_15.JPGРис. 3.16

3) угол поворота горизонтальной проекции A1 точки А равен углу поворота точки в пространстве.

2. Вращение точки А вокруг фронтально проецирующей прямой
i (i П2).

Если точка А вращается вокруг оси i перпендикулярной П2, то плоскость , в которой располагается окружность, описываемая точкой, становится фронтальной плоскостью уровня ( П2) (рис. 3.17).
prk3_11.JPG Рис.3.17 (анимация)

Следовательно, окружность, описанная точкой А в пространстве, спроецируется на плоскость П1 в отрезок прямой, совпадающей с 1, а на плоскость П2 - без искажения.
Таким образом, на комплексном чертеже (рис. 3.18):
1) горизонтальная проекция А1 точки А перемещается по прямой, перпендикулярной линиям связи (вырожденная горизонтальная проекция 1 плоскости П2);
2) фронтальная проекция А2 точки А перемешается по окружности радиуса | R | = | AO | = | A2O2 |
prk3_16.JPGРис. 3.18

3) угол поворота фронтальной проекции А2 точки А равен углу поворота точки в пространстве.
Примечания: 1. Положение прямой линии в пространстве определяется двумя точками; следовательно, вращение прямой сводится к вращению двух точек, принадлежащих ей.
2. Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками, не принадлежащими одной прямой: следовательно, вращение плоскости сводится к вращению трех точек, определяющих плоскость.
3. Вращение прямой можно свести к вращению только одной ее точки, а вращение плоскости - к вращению двух ее точек, если провести ось вращения так, чтобы она пересекала прямую или плоскость.

Основные задачи, решаемые способом вращения

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в линию уровня.
На рис. 3.19 представлена анимационная схема, а на рис. 3.20 решение задачи на комплексном чертеже.
Решение. Для того чтобы прямую общего положения 1(l1,l2) преобразовать, например, во фронталь, ее необходимо вращать около оси i П1;
prk3_13.JPG Рис.3.19 (анимация)

1) выбираем две точки А(А1А2) и В(В1В2), принадлежащие прямой l;
2) проводим ось вращения i(i1,i2) перпендикулярно П1 через точку В(В1В2) прямой l(l1,l2);
3) при вращении прямой l вокруг оси i точка В прямой останется неподвижной, так как принадлежит оси, а точка А будет вращаться по правилам, рассмотренным выше;
4) угол поворота точки А и ее горизонтальной проекции А1 определяется так: когда прямая l займет положение l' параллельное П2, ее горизонтальная проекция l1 расположится перпендикулярно линиям связи.
prk3_24.JPGРис. 3.20

Дальнейшие построения ясны из чертежа. Прямая l' (l'1,l'2) - искомая.
Для преобразования прямой l общего положения в горизонталь, ее необходимо вращать около оси i, перпендикулярной П2 и проходящей через какую-либо точку прямой. Решите самостоятельно эту задачу.
Примечания: 1. При вращении прямой вокруг оси i П1 угол наклона её к плоскости П2 не изменяется, поэтому горизонтальная проекция отрезка прямой не меняет свое положение, сохраняя начальную величину.
2. При вращении прямой вокруг оси i П2 угол наклона ее к плоскости П2 не изменяется, поэтому фронтальная проекция отрезка прямой меняет свое положение, сохраняя начальную величину.
Подумайте, можно ли прямую общего положения вращением около оси iП1 расположить параллельно П1, а около оси i П2 - параллельно П2.
3адача 2. Преобразовать линию уровня в проецирующую прямую (рис. 3.21).
Решение. 1. Если линия уровня АВ(А1В12В2) является горизонталью, то ее можно преобразовать вращением около оси i перпендикулярной П1 во фронтально проецирующую прямую. При вращении горизонтали вокруг оси i она сохраняет параллельность плоскости П1 и может быть повернута в положение, перпендикулярное П2. Построение ясно из чертежа.
prk3_17.JPGРис. 3.21

2. Если линия уровня является фронталью, то ее можно преобразовать в горизонтально проецирующую прямую вращением около оси i перпендикулярной П2. Подумайте почему. Решите эту задачу
Примечание. Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить два последовательных преобразования: вначале преобразовать ее в линию уровня (см. первую задачу), а затем линию уровня преобразовать в проецирующую (см. вторую задачу). Почему?

3адача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (рис. 3.22).
Решение. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость тоже станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линиями уровня (см. задачу 2).
Если плоскость (АВС) вращать вокруг оси i П1 (рис. 3.22), то горизонталь (АК), принадлежащая плоскости, может быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости П2 (см. задачу 2), при этом плоскость становится фронтально проецирующей.
Для упрощения построений на комплексном чертеже горизонталь АК(А1К12К2) и ось вращения i(i1,i2) проведены через вершину А треугольника АВС.
prk3_18.JPGРис. 3.22

Для построения новой горизонтальной проекции А1В'1С'1 треугольника АВС можно воспользоваться одним из следующих соображений:
1) так как угол наклона плоскости треугольника АВС к плоскости П1 при вращении вокруг оси i П1 не изменяется, то
А1В'1С'1А1В1С1;
2) величина угла поворота точек В1 и С1 равна величине угла поворота горизонтальной проекции горизонтали ( = К1А1К'1). Точка А1 неподвижна, так как она принадлежит оси вращения. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из чертежа.
Треугольник АВ'С' перпендикулярен П2 и поэтому его фронтальная проекция
В'2А2С'2 вырождается в прямую линию.
Для того чтобы плоскость преобразовать в горизонтально проецирующую, ее необходимо вращать вокруг оси i П2, а в качестве вспомогательной линии уровня взять фронталь. Решите зту задачу, исходный чертеж задайте самостоятельно.

3адача 4. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня (рис. 3.23). Если плоскость (АВС) является фронтально проецирующей плоскостью, то ее можно преобразовать в горизонтальную плоскость уровня, вращая вокруг оси i, перпендикулярной плоскости П1, проведенной через вершину А треугольника АВС.
prk3_19.JPGРис. 3.23

В то время когда плоскость (АВС) расположится параллельно плоскости П1 ее фронтальная проекция - прямая (А2В2С2) займет положение (А2В'2С'2), перпендикулярное линиям связи. Величина угла поворота плоскости = С2A2C'2. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из чертежа.
Горизонтально проецирующую плоскость можно преобразовать во фронтальную плоскость уровня, вращая ее вокруг оси i П1 и проходящей через какую-либо точку плоскости.
Решите эту задачу, исходный чертеж задайте самостоятельно.
prk3_20.JPGРис. 3.24

Примечание. Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить два последовательных преобразования: вначале преобразовать ее в проецирующую плоскость (см. третью задачу), а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня (см. четвертую задачу). Почему?
Преобразование плоскости (АВС) во фронтальную плоскость уровня показано на рис. 3.24.

 

 

Вращение вокруг линии уровня (совмещение с плоскостью уровня)

Вращение геометрической фигуры вокруг линии уровня (горизонтали или фронтали) производится с целью ее совмещения с плоскостью уровня. Применяется этот способ в основном для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня при решении следующих задач:
1) определение величины плоской фигуры;
2) определение величины плоского угла;
3) построение в заданной плоскости какой-либо фигуры по заданным условиям.
Линия уровня, вокруг которой вращается плоскость общего положения, должна принадлежать этой плоскости. В этом случае вращение плоскости сводится к вращению только одной точки, не принадлежащей оси вращения.
Рассмотрим процесс совмещения точки В с горизонтальной плоскостью уровня путем вращения ее вокруг горизонтали h, принадлежащей этой плоскости (рис. 3.25).
prk3_21.JPGРис. 3.25

Точка В, вращаясь вокруг горизонтали h, будет описывать окружность, расположенную в плоскости h. Центр O этой окружности является точкой пересечения оси вращения (h) c плоскостью . Радиус окружности равен расстоянию точки В до оси h(| R | = | ОВ |). Так как плоскость перпендикулярна h, а h параллельна П1, то перпендикулярна П1, ее горизонтальная проекция вырождается в прямую 1 h1. Следовательно, окружность, описываемая точкой В, спроецируется на плоскость П1 в отрезок прямой, совпадающей с прямой 1. Проекцией этой окружности на плоскость П2 будет эллипс, так как плоскости и П2 не параллельны.
Таким образом, при вращении точки В вокруг горизонтали ее горизонтальная проекция В1 перемещается по прямой 1 h1. Направление перемещения зависит от направления вращения точки В (на рис. 3.25 показано стрелками). В то время, когда точка В совместится с плоскостью и займет одно из положений В' или В", ее горизонтальная проекция В1 переместившись по прямой 1 соответственно займет положение В1 или В"1. При этом
| OB' | = | OB" | = | O1B'1 | = | O1B"1 | = | OB | = | R |
Величину радиуса окружности можно определить способом прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике ОВК гипотенуза | ОВ | = | R |, катет | ОК | = | О1В1 | (О1В1 - горизонтальная проекция радиуса, катет | ВК | равен разности расстояний концевых точек отрезка | ОВ | до плоскости П1. На комплексном чертеже (рис. 3.26) построения выполняются в следующей последовательности:
prk3_22.JPGРис. 3.26

1) Через горизонтальную проекцию В1 точки В проводим прямую
1 h1;
2) 1 h1 = 01 - горизонтальная проекция центра окружности; фронтальная проекция О2 центра определяется по линии связи
на h2;
3) [О1В1] и [О2В2] - соответственно горизонтальная и фронтальная проекции радиуса окружности;
4) способом прямоугольного треугольника (O1В1В0) определяем величину радиуса окружности
(| R | = | О1в0);
5) из точки О1, как из центра, описываем окружность радиуса | R | = | О1 В0 | и отмечаем точки В'1 и В"1 пересечения ее с прямой 1;
6) точки В'1 ив В"1 являются горизонтальными проекциями соответственно точек В' и В", фронтальные проекции В'2 и В2" определяются по линиям связи на прямой 2.
В случае вращения точки вокруг фронтали и совмещения ее с фронтальной плоскостью уровня рассуждаем аналогично. Решите самостоятельно эту задачу.
В качестве примера применения рассмотренного способа определим истинную величину треугольника АВС (рис. 3.27).
prk3_23.JPGРис. 3.27

Если повернуть плоскость треугольника АВС вокруг горизонтали в положение, параллельное плоскости П1, и построить его новую горизонтальную проекцию, то эта проекция и будет искомой величиной.
1. Проведем в плоскости треугольника АВС горизонталь h(h1,h2) через вершину А(А12) и отметим точку К(К1К2) пересечения ее со стороной ВС(В1С1, В2С2).
2. Так как точки А и К плоскости треугольника принадлежат оси вращения (горизонтали h), то при вращении плоскости они останутся неподвижными.
3. Таким образом, вращение плоскости треугольника АВС сводится к вращению только одной ее точки, например вершины В, не принадлежащей оси вращения, так как положение плоскости в пространстве определяется тремя точками А, К и В.
4. Вершину В совмещаем с горизонтальной плоскостью , вращая ее вокруг горизонтали h. Все построения на комплексном чертеже аналогичны тем, которые выполнены на рис. 3.26. В результате получим точку В'(В'1, В'2.)
5. Три точки А, В' и К определяют новое положение плоскости треугольника АВС, параллельное плоскости П1.
6. Новое положение С' вершины С определяется как точка пересечения прямой (В'К) с плоскостью ', в которой перемещается точка С. Новая горизонтальная проекция С'1 точки С' определится как точка пересечения горизонтальной проекции (В11) прямой (В'К) с горизонтальной проекцией '1 плоскости 1.
7. Треугольник АВ'С' параллелен П1, следовательно, А1В1С1ABC.
Решите самостоятельно эту задачу вращением плоскости вокруг фронтали.

Поверхность образованная движением линии Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в одной линии или целого семейства линий ( m, n, p...) . Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные - направляющими. Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим. Анализ видов и кинетических параметров движений Равномерное движение Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению
[an error occurred while processing this directive]