Конспект лекций по начертательной геометрии

Во многих случаях трудоемкость решения задачи зависит не столько от сложности ее условия, сколько от положения заданных геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Во всех случаях, когда заданные геометрические фигуры являются проецирующими, решение задачи, как правило, упрощается, Такое положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций, при котором мы непосредственно по чертежу получаем ответ на поставленный в задаче вопрос, называется наивыгоднейшим. Например, по рис. 3.1, б можно сразу определить расстояние между параллельными прямыми а и б, а по рис. 3.1, а, этого сделать нельзя.
Рис. 3.1

Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно преобразовать чертеж так, чтобы заданные геометрические фигуры оказались бы в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:

• Зубчатые передачи с циклоидальными профилями. Циклоидальными кривыми или циклоидами (рулеттами, трохоидами) называется семейство кривых, которые описываются точками окружности или точками, связанными с этой окружностью, при ее перекатывании без скольжения по другой окружности или прямой

1) на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур; 2) на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций; 3) на изменении направления проецирования, т. е. на замене ортогонального проецирования косоугольным или центральным на одну из старых плоскостей проекций или на какую-нибудь новую. Рассмотрим некоторые из них.

Замена фронтальной плоскости проекций
(преобразование системы П₂/П₁ в систему П₄/П₁)

Рис. 3.2

Заменим фронтальную плоскость проекций П₂, новой плоскостью П₄ (которую условно будем называть тоже фронтальной), перпендикулярной к П₁, и образующей с плоскостью П₂ некоторый угол (в случае проецирования точки этот угол произволен). В результате получим новую систему плоскостей проекций П₄/П₁. Плоскость П₁ является общей для старой и новой систем плоскостей проекций.
В новой системе П₄/П₁ имеем: X₁₄ = П₁ П₄ - новая ось проекций, А₁ и А₄ - ортогональные проекции точки А.
При переходе от старой системы П₂/П₁ к новой П₄/П₁ остаются неизменными (являются инвариантами преобразования): 1) плоскость П₁ и точка А; 2) горизонтальная проекция А₁, точки А; 3) расстояние точки А до плоскости П₁, т. е. | AA₁ | = | A₂A₁₂ | = | A₄A₁₄ |.
На динамическом рисунке 3.3 показан механизм рассмотренного проекционного преобразования.

Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А₁,А₂) проводим новую ось проекций х₁₄ (рис. 3.2), положение которой определяется положением новой фронтальной плоскости проекций П₄. Из точки А₁ проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х₁₄. На линии связи от точки А₁₄ откладываем отрезок
| А₁₄А₄ | = | А₁₂А₂ |. Полученная таким образом точка А₄ является проекцией точки А на плоскость П₄. В новой системе плоскостей проекций П₄/П₁ положение точки А определяется проекциями А₁ и А₄.

Замена горизонтальной плоскости проекций
(преобразование системы П₂/П₁ в систему П₂/П₄)

Рис. 3.4

Заменим горизонтальную плоскость проекций П₁, новой плоскостью П₄ (которую условно будем называть тоже горизонтальной), перпендикулярной к П₂, и образующей с плоскостью П₁ некоторый угол (в случае проецирования точки величина угла произвольна). В результате получим новую систему плоскостей проекций
П₂/П₄. Плоскость П₂, является общей для старой и новой систем плоскостей проекций. В новой системе П₂/П₄ имеем: X₂₄ = П₂ П₄ - новая ось проекций, А₂ и А₄ - ортогональные проекции точки А.
При переходе от старой системы П₂/П₁ к новой П₂/П₄ остаются неизменными (являются инвариантами преобразования): 1) плоскость П₂ и точка А; 2) фронтальная проекция А₂, точки А; 3) расстояние точки А до плоскости П₂, т. е. | AA₂ | = | A₁A₁₂ | = | A₄A₂₄ |.
Динамический рисунок 3.5 демонстрирует механизм рассмотренного проекционного преобразования.

Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А₁,А₂) проводим новую ось проекций х₂₄ (рис. 3.4), положение которой определяется положением новой горизонтальной плоскости проекций П₄. Из точки А₂ проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х₂₄. На линии связи от точки А₂₄ откладываем отрезок | А₂₄А₄ | = | А₁₂А₁ |. Полученная точка А₄ является проекцией точки А на плоскость П₄. В новой системе плоскостей проекций П₂/П₄ положение точки А определяется проекциями А₂ и А₄.
При необходимости выполнить две последовательные замены плоскостей проекций преобразование выполняется так, как показано на рис. 3.6. Подумайте и выполните преобразование комплексного чертежа точки А в системе П₂/П₁ в комплексный чертеж в системе П₂/П₄, а затем в системе П₄/П₅.
Рис. 3.6

При решении задач с применением способа замены плоскостей проекций удобнее исходный комплексный чертеж задавать в осной системе изображения. Если же исходный чертеж выполнен в безосной системе, то можно зафиксировать плоскости проекций П₁ и П₂ в каком-либо удобном положении. Эта пространственная операция отражается на комплексном чертеже проведением оси проекций между горизонтальной и фронтальной проекциями объекта.

Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций

Рис. 3.7

Решение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П₁, или П₂ новой плоскостью проекций П₄, параллельной прямой l и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Для того чтобы прямая l в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, заменяем фронтальную плоскость проекций П₂ новой плоскостью П₄ П₁ и параллельной прямой l. Динамика данного проекционного преобразования показана на рис. 3.8.

Построение на комплексном чертеже (рис. 3.7).
1) проводим новую ось проекций х₁₄ параллельно l₁ на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х₁₄ обусловливается тем, что П₄ параллельна l. В частном случае, если плоскость П₄ проведена непосредственно через прямую l,
ось х₁₄ = l₁;
2) выберем на прямой l две точки А(А₁А₂) и В(В₁В₂);
3) построим проекции точек А и В на плоскости П₄;
4) прямая l₄ (А₄, В₄) является проекцией прямой l на плоскость П₄. Прямая l(A,B) в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ является фронталью.
Примечания:
1. Отрезок [АВ] прямой l проецируется на плоскость П₄ в истинную величину, т.е. | А₄В₄ | = | АB | 2. - величина угла наклона прямой l к плоскости П₁.

Подумайте и решите задачу 1 в безосной системе изображения.
Преобразуйте прямую l так, чтобы она стала в новой системе плоскостей проекций горизонталью.
3адача 2. Преобразовать линию уровня в проецирующую прямую. Решение. Допустим, что заданная линия уровня (рис. 3.9) является горизонталью h(h₁,h₂).
Рис. 3.9

Для решения задачи заменяем плоскость П₂ исходной системы П₂/П₁ плоскостью П₄h, при этом плоскость П₄ будет перпендикулярна П₁
так как h П₁ и образует с ней новую систему плоскостей проекций П₁/П₄.
Построения на комплексном чертеже: 1) проводим новую ось проекций х₁₄ 1; такое положение оси обусловливается тем, что П_{4 h; 2) выберем на прямой h две точки А(А1,А2) и В(В1,В2); 3) построим проекции точек А и В на плоскости П4; так как расстояния точек А и В до плоскости П1 одинаковы, то проекции их на плоскости П4 совпадут, т. е. h4 = А4 = В4. Прямая h(h1,h4) в новой системе плоскостей проекций является фронтально проецирующей.}

_{Задайте самостоятельно комплексный чертеж фронтали f и преобразуйте ее в проецирующую прямую.
Подумайте и решите задачу 2 в безосной системе изображений.}

_{Прямую общего положения преобразовать в проецирующую заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4 перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций, и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Рис. 3.10}

_{Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале прямую следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую. На рис. 3.10 показано преобразование прямой l общего положения в горизонтально проецирующую.
Прямую l общего положения преобразуйте во фронтально проецирующую (чертеж задайте самостоятельно).
3адача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (рис. 3.11) Решение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость П1 или П2 исходной системы П2/П1 новой плоскостью П4, перпендикулярной плоскости (АВС). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня (см. задачу 2).
Рис. 3.11}

_{На чертеже плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую (см. рис. 3.11) путем преобразования горизонтали h(h1,h2), принадлежащей плоскости , во фронтально проецирующую прямую (см, задачу 2). Все построения, выполненные на комплексном чертеже, cделаны на основе материала данного параграфа. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 плоскость является фронтально проецирующей (} 4), и поэтому ее проекция на П<sub>4 вырождается в прямую линию 4 (С4, А4, В4).
- величина угла наклона плоскости к плоскости П1.
Преобразуйте плоскость общего положения Г в горизонтально проецирующую (исходный чертеж задайте самостоятельно).
3адача 4. Преобразовать проецирующую плоскость Г в плоскость уровня.
Решение. Допустим, что заданная плоскость Г является фронтально проецирующей (рис. 3.12). Заменим плоскость П1 новой плоскостью проекций П4, параллельной плоскости Г(АВС) и, следовательно, перпендикулярной незаменяемой плоскости П2. В новой системе плоскостей проекций П2/П4 плоскость Г(АВС) станет горизонтальной плоскостью уровня.
Рис. 3.12</sub>

_{Построения на комплексном чертеже: 1) проводим новую ось проекций х24 параллельно А2С2 на произвольном от нее расстоянии; такое положение оси проекций х24 обусловливается тем, что П4 параллельна Г(АВС). Ось х24 совпадает с прямой
(А2С2), если плоскость П4 совмещается с плоскостью Г(АВС); 2) построим проекции точек А, В и С на плоскость П4; 3) треугольник А4В4С4 является проекцией треугольника АВС на плоскость П4.
Примечание.
Так как плоскость треугольника АВС параллельна плоскости П4, то А4В4С4 АВС.
Преобразуйте горизонтально проецирующую плоскость во фронтальную плоскость уровня (исходный чертеж задайте самостоятельно).
Примечание.
Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций.
Рис. 3.13}

_{Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня. На рис. 3.13 показано преобразование плоскости (АВС) в горизонтальную плоскость уровня.
Преобразуйте плоскость общего положения во фронтальную плоскость уровня (исходный чертеж задайте самостоятельно).}