Примеры решения задач контрольной (курсовой) работы по математике

Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями   и  и ограниченного поверхностью  и плоскостью .

Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной   и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Вычисление площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .

Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление объема тела

Пусть в пространстве задано тело, проекцией которого на ось  является отрезок  и при любом , , известно значение площади "поперечного" сечения тела плоскостью  . Тогда объем этого тела можно получить, переходя от интегральной суммы  к
интегралу .

Здесь , ,  – разбиение  отрезка  на частичные отрезки  с длинами , ,  – произвольно выбираемые точки на

Представим на рисунке область  и выберем способ счета.
Поскольку переход к явному заданию границы фигуры затруднен,
а кроме того, есть комбинация переменных , то разумно
перейти к полярным координатам  Получим  или  – уравнение лемнискаты (см. в 7.7.1 пример 7). Используя симметрию фигуры, вычисляем площадь .

ПРИМЕР 5. Вычислить площадь фигуры , ограниченной кривыми , , ,  при .

Решение.

.


[an error occurred while processing this directive]